Econométrie Appliquée

Des 🍏 sur !

Auteur·rice·s
Affiliation

Corentin Ducloux

Guillaume Devant

Date de publication

24/01/2024

Code
makestars <- function(pvalues) {
    return(
        dplyr::case_when(
            pvalues < 0.001 ~ "$***$",
            pvalues < 0.05 ~ "$**$",
            pvalues < 0.1 ~ "$*$",
            .default = ""
        )
    )
}


gtgazer <- function(model, n_coef = 4, coefnames, description, title, bg_color) {
    coefficients <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 1]
    std_values <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 2]
    pvalues <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 4]
    signif <- makestars(pvalues)
    r2 <- round(summary(model)$r2, 3)
    adj_r2 <- round(summary(model)$r2bar, 3)
    n <- summary(model)$nObs
    dep_variable <- summary(model)$yName
    coefnames <- coefnames
    description <- description
    reg_results <- data.frame(cbind(coefnames, description, coefficients, std_values, pvalues, signif)) |>
        tibble() |>
        mutate(across(c(coefficients, std_values, pvalues), as.numeric))

    table <- reg_results |>
        gt(rowname_col = "coefnames") |>
        cols_label(
            description = md("**Description**"),
            coefficients = md("**Coefficients**"),
            std_values = md("**Ecart Type**"),
            pvalues = md("**Pvalues**"),
            signif = md("**Significativité**")
        ) |>
        fmt_markdown(columns = c(coefnames, signif, description)) |>
        fmt_number(columns = c(coefficients, pvalues), decimals = 3) |>
        fmt(columns = std_values, fns = function(std) {
            paste("+/-", round(std, 3))
        }) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("*Observations* : %s", n))) |>
        tab_footnote(footnote = md("***")) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2=$ %s", r2))) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2_{adj}=$ %s", adj_r2))) |>
        tab_header(
            title = md(title),
            subtitle = md(sprintf("Variable dépendante : *%s*", dep_variable))
        ) |>
        tab_options(
            table.background.color = bg_color
        )

    return(table)
}

1 Imports et configuration

Note

Tout au long de ce projet, nous utiliserons l’approche tidy développée par Wickham (2014) plutôt que l’approche base R pour manipuler nos données.

Code
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(readxl)
library(micEcon)
library(stargazer)
library(gt)
library(tibble)
library(knitr)
library(plotly)
library(patchwork)
library(showtext)
Code
bg_color <- "#FCFCFC"
alpha <- 0.7
Code
theme_set(theme_minimal())
thematic::thematic_on(bg = "#FCFCFC", fg = "black", accent = "purple", font = "PT Sans")

2 Description des données

Le jeu de données appleProdFr86 utilisé dans le papier d’économétrie de Ivaldi et al. (1996) comprend des données transversales de production de 140 producteurs de pommes français datant de l’année 1986.

Code
apples <- read_excel("data/appleProdFr86.xlsx")
Descriptif des colonnes
Colonnes Description
vCap Coûts associés au capital (foncier compris).
vLab Coûts associés au travail (y compris la rémunération du travail familial non rémunéré).
vMat Coûts des matières intermédiaires (plantations, engrais, pesticides, carburant, etc).
qApples Indice de quantité des pommes produites.
qOtherOut Indice de quantité de tous les autres outputs.
qOut Indice de quantité de toute la production \(\Rightarrow 580000 \cdot (\text{qApples} + \text{qOtherOut})\)
pCap Indice des prix du capital.
pLab Indice des prix du travail.
pMat Indice des prix des matières intermédiaires.
pOut Indice des prix de la production globale.
adv Distingue les producteurs qui sont conseillés par des laboratoires d’agronomie.

2.1 Tableau descriptif

Ce tableau descriptif retrace les 10 premières observations et l’ensemble des variables associées dans le dataset.

Code
apples |>
    head(n = 10) |>
    gt() |>
    tab_header(
        title = md("**Producteurs de pommes 🍎**"),
        subtitle = md("*140 producteurs* 🇫🇷 *(1986)*")
    ) |>
    tab_source_note(
        source_note = "Source: Ivaldi et al. (1996)"
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Costs",
        columns = c("vCap", "vLab", "vMat")
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Price Index",
        columns = c("pCap", "pLab", "pMat", "pOut")
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Quantity Index",
        columns = c("qApples", "qOtherOut", "qOut")
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "lavenderblush")
        ),
        location = cells_body(columns = c(vCap, vLab, vMat))
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "ivory")
        ),
        location = cells_body(columns = c(qApples, qOtherOut, qOut))
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "aliceblue")
        ),
        location = cells_body(columns = c(pCap, pLab, pMat, pOut))
    ) |>
    fmt_number(suffixing = TRUE, n_sigfi = 2) |>
    text_case_match(
        "1.0" ~ fontawesome::fa("check"),
        "0" ~ fontawesome::fa("xmark"),
        .locations = cells_body(columns = adv)
    ) |>
    tab_options(
        table.background.color = bg_color
    )
Producteurs de pommes 🍎
140 producteurs 🇫🇷 (1986)
N Costs Quantity Index Price Index adv qCap qLab qMat
vCap vLab vMat qApples qOtherOut qOut pCap pLab pMat pOut
1 220K 320K 300K 1.4 0.98 1.4M 2.6 0.90 8.9 0.66 84K 360K 34K
2 130K 190K 260K 0.86 1.1 1.1M 3.3 0.75 6.4 0.72 40K 250K 41K
3 81K 130K 91K 3.3 0.40 2.2M 2.2 0.96 3.7 0.94 37K 140K 24K
4 34K 110K 60K 0.44 0.44 510K 1.6 1.3 3.2 0.60 21K 83K 19K
5 39K 84K 100K 1.8 0.015 1.1M 0.87 0.94 7.2 0.83 45K 89K 14K
6 120K 520K 580K 8.5 0.43 5.2M 1.0 0.96 9.6 1.4 120K 550K 60K
7 89K 170K 340K 4.1 3.3 4.3M 0.98 1.0 7.8 1.3 91K 170K 44K
8 92K 200K 130K 2.2 1.1 1.9M 1.0 0.92 5.0 0.62 89K 220K 25K
9 66K 180K 190K 1.8 2.6 2.5M 2.5 1.0 5.6 1.9 27K 180K 34K
10 94K 140K 82K 1.6 0.45 1.2M 0.98 0.64 5.6 0.49 95K 220K 15K
Source: Ivaldi et al. (1996)

3 Statistiques descriptives

3.1 Productivité moyenne des facteurs de production

La productivité moyenne (\(AP =\) Average Product) consiste à diviser la quantité totale d’output par la quantité totale de facteur utilisé (input) dans le processus de production.

Imaginons que les unités d’output sont des tonnes. Pour chaque input, cela revient en fait à expliquer combien de tonnes sont produites par unité de capital, de travail et de matières intermédiaires en 1986 pour chaque producteur de pommes.

Nous obtenons alors respectivement :

  • \(AP_{Cap} = \frac{q_{Out}}{q_{Cap}}\)

  • \(AP_{Lab} = \frac{q_{Out}}{q_{Lab}}\)

  • \(AP_{Mat} = \frac{q_{Out}}{q_{Mat}}\)

Code
apples <- apples |> mutate(
    AP_Cap = qOut / qCap,
    AP_Lab = qOut / qLab,
    AP_Mat = qOut / qMat
)
Code
tibble_AP_Cap <- apples |> summarise(min = min(AP_Cap), mean = mean(AP_Cap), max = max(AP_Cap), std = sd(AP_Cap)) |> add_column(type = "$AP_{Cap}$", .before = "min")
tibble_AP_Lab <- apples |> summarise(min = min(AP_Lab), mean = mean(AP_Lab), max = max(AP_Lab), std = sd(AP_Lab)) |> add_column(type = "$AP_{Lab}$", .before = "min")
tibble_AP_Mat <- apples |> summarise(min = min(AP_Mat), mean = mean(AP_Mat), max = max(AP_Mat), std = sd(AP_Mat)) |> add_column(type = "$AP_{Mat}$", .before = "min")

AP_table <- bind_rows(tibble_AP_Cap, tibble_AP_Lab, tibble_AP_Mat)

AP_table |> gt() |> fmt_markdown(columns = type) |> fmt_number(columns = c(-type)) |> tab_header(
        title = md("**Productivité Moyenne par Facteur 📋**"),
        subtitle = md("*Capital --- Travail --- Matériaux*")
    ) 
Productivité Moyenne par Facteur 📋
Capital — Travail — Matériaux
type min mean max std

\(AP_{Cap}\)

1.45 32.64 152.87 29.25

\(AP_{Lab}\)

0.86 10.21 25.63 6.20

\(AP_{Mat}\)

8.22 90.64 301.43 60.43

done 💅

Ce tableau, en plus des visualisations qui vont suivre, permet d’établir que les productivités moyennes par facteur sont très différentes selon les producteurs. De plus, on s’aperçoit aussi qu’investir dans un facteur particulier peut être plus intéressant qu’un autre.

C’est particulièrement vrai pour le facteur Mat avec une productivité moyenne minimale de 8.22 unités d’output pour une unité de matériaux et jusqu’à 301.43 unités d’output pour une unité de matériaux.

Code
apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Cap) +
    geom_histogram(binwidth = 1.25, fill = "darkgreen", alpha = alpha) +
    labs(title = "Productivité Moyenne du Capital", subtitle = "Pour une unité de capital, combien d'unités d'output sont produits ?", x = "", y = "Fréquence")

Code
apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Lab) +
    geom_histogram(binwidth = 0.75, fill = "orange", alpha = alpha) +
    labs(title = "Productivité Moyenne du Travail", subtitle = "Pour une unité de travail, combien d'unités d'output sont produits ?", x = "", y = "Fréquence")

Code
apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Mat) +
    geom_histogram(binwidth = 1.5, fill = "darkorchid", alpha = alpha) +
    labs(title = "Productivité Moyenne des matériaux", subtitle = "Pour une unité de matériaux, combien d'unités d'output sont produits ?", x = "", y = "Fréquence")

3.2 Corrélations entre les quantités des 3 facteurs de production

Code
apples |>
    select(starts_with("AP")) |>
    cor() |>
    round(2) |>
    data.frame() |>
    gt() |>
    tab_header("Matrice de corrélation")
Matrice de corrélation
AP_Cap AP_Lab AP_Mat
1.00 0.51 0.46
0.51 1.00 0.73
0.46 0.73 1.00

3.3 Représentation graphique des relations entre les productivités moyennes

\(\Rightarrow\) Idée : Faire des régressions linéaires sur ces graphs. étudier la relation. Normalement on devrait retrouver les coefs de la matrice de corrélation. On voit aussi que pour le 2e graph il y a une belle relation linéaire.

Code
CL <- apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Cap, y = AP_Lab) +
    geom_point(colour = "slategray", alpha = alpha)
ML <- apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Mat, y = AP_Lab) +
    geom_point(colour = "gray", alpha = alpha)
CM <- apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Cap, y = AP_Mat) +
    geom_point(colour = "gray21", alpha = alpha)

prod_plots <- (CL + ML) / CM

prod_plots + plot_annotation(
    title = "Croisement des productivités moyennes",
    subtitle = "Quelles sont les relations existantes entre les différentes productivités moyennes ?",
    caption = "Auteurs : @Corentin DUCLOUX, @Guillaume DEVANT, 2024 "
)

Code
QC <- apples |>
    ggplot() +
    aes(y = qOut, x = AP_Cap) +
    geom_point(colour = "darkgreen", alpha = alpha) + 
    labs(y = "") + 
    theme(axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank())
QL <- apples |>
    ggplot() +
    aes(y = qOut, x = AP_Lab) +
    geom_point(colour = "orange", alpha = alpha) + 
    labs(y = "") +
    theme(axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank())
QM <- apples |>
    ggplot() +
    aes(y = qOut, x = AP_Mat) +
    geom_point(colour = "darkorchid", alpha = alpha) + 
    labs(y = "") +
    theme(axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank())

qOut_prod_plots <- (QC + QL) / QM

qOut_prod_plots + plot_annotation(
    title = "Productivité moyenne par rapport à l'output total",
    subtitle = "Quelles sont les relations existantes entre les productivités moyennes des inputs et de l'output ?",
    caption = "Auteurs : @Corentin DUCLOUX, @Guillaume DEVANT, 2024 "
)

3.4 Paasche ou Laspeyeres ou Fisher

3.5 Indice de productivité globale des facteurs

\[ GP = \frac{q_{Out}{q_{Cap} + q_{Lab} + q_{Mat}}} \]

Code
apples <- apples |> mutate(global_prod = qOut / (qCap + qLab + qMat))
Code
apples |>
    ggplot() +
    aes(x = global_prod) +
    geom_histogram(binwidth = 0.25, fill = "darkred", alpha = 0.7) +
    labs(title = "Productivité globale", x = "Productivité", y = "Fréquence")

Code
apples |>
    ggplot() +
    aes(x = global_prod, fill = as.factor(adv)) +
    geom_boxplot() +
    coord_flip() +
    labs(title = "Productivité globale en fonction conseil ou non") +
    theme(legend.position = "None")

4 Analyse exploratoire

ACP à faire ? pourrait être intéressant

Code
apples_num <- apples |>
    select(-N)

cor <- apples_num |> cor()

fig <- plot_ly(x = apples$vCap, type = "histogram", nbinsx = 30, alpha = 0.6)
fig
Code
fig <- plot_ly(alpha = 0.6, nbinsx = 50)
fig <- fig %>% add_histogram(apples$vCap[apples$adv == 1], name = "advisory service")
fig <- fig %>% add_histogram(apples$vCap[apples$adv == 0], name = "not advisory service")
fig <- fig %>% layout(
    barmode = "overlay",
    yaxis = list(title = "Frequency"),
    xaxis = list(title = "Values")
)
fig

4.1 Infos sur le sujet

\[ Q = f(QCAP, QLAB, QMAT)\\ \]

il y a aussi les infos sur \(C(Q)\)

Comparer les productivités des facteurs. (graphiquement) - imaginons que les unités sont des tonnes (combien de tonnes sont produites par unité de travail, capital, etc.)

Comment ces productivités individuelles sont corrélées (entre QCAP, QLAB, QMAT)

  • Indice de Paasche
  • Indice de Laspeyres
  • Indice de Fisher

Expliquer les différences de profits entre les producteurs ? Regarder du coté des fonctions de profit.

Propriété de la CD => si la fonction de prod est cobb douglas, alors la fonction de coût l’est aussi.

alpha y => mesure des rendements d’échelle…

Pour la question 7, o nintègre la quantité d’inputs comme variable explicative => fonction de cout de court terme

Fonction de cout qui intègre que la quantité de capital ne change pas instantanément

Rendements d’échelle (somme des exposants) => on peut trouver ces rendements d’échelle soit en faisant la fonction de coût, ou la fonction de production. Mais on peut aussi les estimer grace à une fonction de demande

DEUX CHOSES ESSENTIELLES

  • Il faut estimer les substitutions entre facteurs
  • Les rendements d’échelle

Dans la cobb douglas les substitutions entre facteurs il est constant et c’est 1.

Regarder le \(\prod\)

4.2 Notes sur la translog Cost

On pourrait tt à fait estimer le système d’équations suivant :

Voir aussi la slide 78 sur la fonction \(\ln C\)

\[ \begin{cases} S_1 = \alpha_1 + \sum^3_{i=1} \beta_{1j}\ln p_j + \beta_{1y}\ln y\\ S_2 = \alpha_2 + \sum^3_{i=1} \beta_{2j}\ln p_j + \beta_{2y}\ln y\\ S_3 = \alpha_3 + \sum^3_{i=1} \beta_{3j}\ln p_j + \beta_{3y}\ln y \end{cases} \]

Inconvénients dans la translog et des formes flexibles :

Le nombre de paramètres explose à cause des effets croisés et risque important de collinéarité.

Quand on passe au système au tableau, on a augmenté à 3*140 données (420 observations) et on a un peu moins de paramètres

Code
apples |>
    select(qApples, adv) |>
    group_by(adv) |>
    summarise(mean = mean(qApples))
# A tibble: 2 × 2
    adv  mean
  <dbl> <dbl>
1     0  3.15
2     1  2.99

5 Fonction Cobb-Douglas

Forme générale d’une fonction Cobb-Douglas

La forme est généralisée à \(N\) inputs.

\[y = A \prod_{k=1}^N x_k^{a_k}\]

Dans le cadre de cette étude comparative, nous avons 3 inputs :

  • qCap \(\Rightarrow\) la quantité de capital
  • qLab \(\Rightarrow\) la quantité de travail
  • qMat \(\Rightarrow\) la quantité de matériaux

Nous obtenons donc la forme suivante :

\[q_{Out} = A\cdot q_{Cap}^\alpha \cdot q_{Lab}^\beta \cdot q_{Mat}^\gamma\]

Avec \(A, \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow\) 4 paramètres à estimer.

On peut facilement linéariser la fonction, dès lors on obtient :

\[ \ln(q_{out}) = \ln(A) + \alpha \cdot \ln(q_{Cap}) + \beta \cdot \ln(q_{Lab}) + \gamma \cdot \ln(q_{Mat}) \]

Allen Elasticity of Substitution (AES)

\(\sigma_{\{\text{qCap, qLab, qMat}\}} = 1\)

Rappel : Si la fonction de production est Cobb-Douglas, alors on a normalement \(\hat\alpha + \hat\beta + \hat\gamma = 1\)

On peut tester cette hypothèse :

\[ \begin{cases} H_0 : \alpha + \beta + \gamma = 1\\ H_1 : \alpha + \beta + \gamma \neq 1\\ \end{cases} \]

Code
# Estime une fonction de production Cobb Douglas avec l'argument linear
cd_prod <- translogEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples,
    linear = TRUE
)

quad_prod <- quadFuncEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples
)

summary(quad_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-3928802  -695518  -186123   545509  4474143 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.911e+05  3.615e+05  -0.805 0.422072    
a_1          5.270e+00  4.403e+00   1.197 0.233532    
a_2          6.077e+00  3.185e+00   1.908 0.058581 .  
a_3          1.430e+01  2.406e+01   0.595 0.553168    
b_1_1        5.032e-05  3.699e-05   1.360 0.176039    
b_1_2       -3.097e-05  1.498e-05  -2.067 0.040763 *  
b_1_3       -4.160e-05  1.474e-04  -0.282 0.778206    
b_2_2       -3.084e-05  2.081e-05  -1.482 0.140671    
b_2_3        4.011e-04  1.112e-04   3.608 0.000439 ***
b_3_3       -1.896e-03  8.951e-04  -2.118 0.036106 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1344000 on 130 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8449,    Adjusted R-squared:  0.8342 
F-statistic: 78.68 on 9 and 130 DF,  p-value: < 2.2e-16
Code
#elasticities(cd_prod)
#elasticities(quad_prod)
Code
gtgazer(
    cd_prod,
    n_coef = 4,
    coefnames = c("$A$", "$\\alpha$", "$\\beta$", "$\\gamma$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`"
    ),
    title = "**Fonction de production Cobb-Douglas**",
    bg_color = bg_color
)
Fonction de production Cobb-Douglas
Variable dépendante : qOut
Description Coefficients Ecart Type Pvalues Significativité

\(A\)

  • Constante du modèle
−2.064 +/- 1.313 0.118

\(\alpha\)

  • Coefficient associé à la variable qCap
0.163 +/- 0.087 0.064

\(*\)

\(\beta\)

  • Coefficient associé à la variable qLab
0.676 +/- 0.154 0.000

\(***\)

\(\gamma\)

  • Coefficient associé à la variable qMat
0.627 +/- 0.126 0.000

\(***\)

Observations : 140

\(R^2=\) 0.594
\(R^2_{adj}=\) 0.585
Code
summary(cd_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.67239 -0.28024  0.00667  0.47834  1.30115 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.06377    1.31259  -1.572   0.1182    
a_1          0.16303    0.08721   1.869   0.0637 .  
a_2          0.67622    0.15430   4.383 2.33e-05 ***
a_3          0.62720    0.12587   4.983 1.87e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.656 on 136 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5943,    Adjusted R-squared:  0.5854 
F-statistic: 66.41 on 3 and 136 DF,  p-value: < 2.2e-16
Code
apples <- apples |> mutate(cost = vCap + vLab + vMat)
Code
# Estime une fonction Cobb Douglas avec l'argument linear
# translogCostEst("cost", "qOut", c("qCap", "qLab", "qMat"), apples)
  • Avec la fonction de cout on trouve 2.7 – à vérifier

Estimer des fonctions de cout, les rendements d’échelle, estimer la fonction CES, la leontieff généralisée, calculer le profit des producteurs, lien entre efficacité, optimalité, vérifier hétéroscédasticité.

Code
cobbDouglasCalc(c("qCap", "qLab", "qMat"), apples, coef(cd_prod)[1:4], coefCov = NULL, dataLogged = FALSE)
         1          2          3          4          5          6          7 
 3211442.9  2484348.9  1198934.2   659255.2   657608.3  6440150.6  2289560.6 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1941829.7  1643085.0  1393628.8  1065518.4  2532062.5  1142644.8  1990393.7 
        15         16         17         18         19         20         21 
 1804586.9  2486696.5   623801.8  4674844.6   652055.8  1602756.5  3585652.8 
        22         23         24         25         26         27         28 
 3105133.1  1962299.4  1894850.1  1730990.1  2028057.2  1236923.3  3120162.0 
        29         30         31         32         33         34         35 
  857551.9  1283936.8  1591240.6  1112374.7  1104836.2  1990082.5  2286930.2 
        36         37         38         39         40         41         42 
 1050671.7   670978.8   385308.3   617220.9   947210.5  1523069.4  1590208.7 
        43         44         45         46         47         48         49 
 1152166.4   874268.3   856786.7  1501912.2   812992.3  1433944.5  1169689.9 
        50         51         52         53         54         55         56 
  761120.5   655665.9   737223.4   623412.9   541717.9  1239529.1  1182383.1 
        57         58         59         60         61         62         63 
 1401808.7   628116.7   507950.3  2747396.1   539581.5  1055087.5  3550349.5 
        64         65         66         67         68         69         70 
  935872.0  1410581.5  5799225.5  4578344.7  2308627.1  5785802.2  8756920.8 
        71         72         73         74         75         76         77 
  936486.7   859620.4   940655.3   461623.9   848543.7  2309804.2  1241075.8 
        78         79         80         81         82         83         84 
  456956.7   723527.6   395900.6   692132.4  6173798.8   936641.2  6561521.0 
        85         86         87         88         89         90         91 
 3007107.9  4707504.1  1821147.0  1274546.0  1539352.9 10076301.8  1887415.3 
        92         93         94         95         96         97         98 
 1941222.6  3696158.0  6802400.4  1055932.4 23101792.2  1334995.9  1869797.5 
        99        100        101        102        103        104        105 
 3712233.4  1116260.1  4223297.1  4854943.6  1385925.9  1748553.8  2053107.4 
       106        107        108        109        110        111        112 
 1458847.1  2051602.9   643613.7  5267349.8  3902378.1  1836245.8  2455677.3 
       113        114        115        116        117        118        119 
 1624723.3  1560690.4   953841.4   710120.9  1658775.2  1321024.4  1312615.0 
       120        121        122        123        124        125        126 
 2743290.7  1054216.7  1320798.9  1262051.7  2844557.5  2947324.2   407556.6 
       127        128        129        130        131        132        133 
  825951.6  1757610.8 17344690.0  1679538.3  2161094.8  5913745.0  1058384.3 
       134        135        136        137        138        139        140 
 7738514.2   561868.8  1386779.3  7276857.5  1834723.0   556354.7  2416013.3 

Les références

Ivaldi, Marc, Norbert Ladoux, Hervé Ossard, et Michel Simioni. 1996. « Comparing Fourier and translog specifications of multiproduct technology: Evidence from an incomplete panel of French farmers ». Journal of applied econometrics 11 (6): 649‑67.
Wickham, Hadley. 2014. « Tidy Data ». Journal of Statistical Software.

Réutilisation