Econométrie Appliquée

Code

makestars <- function(pvalues) {
    return(
        dplyr::case_when(
            pvalues < 0.001 ~ "$***$",
            pvalues < 0.05 ~ "$**$",
            pvalues < 0.1 ~ "$*$",
            .default = ""
        )
    )
}


gtgazer <- function(model, n_coef = 4, coefnames, description, title, bg_color) {
    coefficients <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 1]
    std_values <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 2]
    pvalues <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 4]
    signif <- makestars(pvalues)
    r2 <- round(summary(model)$r2, 3)
    adj_r2 <- round(summary(model)$r2bar, 3)
    n <- summary(model)$nObs
    dep_variable <- summary(model)$yName
    coefnames <- coefnames
    description <- description
    reg_results <- data.frame(cbind(coefnames, description, coefficients, std_values, pvalues, signif)) |>
        tibble() |>
        mutate(across(c(coefficients, std_values, pvalues), as.numeric))

    table <- reg_results |>
        gt(rowname_col = "coefnames") |>
        cols_label(
            description = md("**Description**"),
            coefficients = md("**Coefficients**"),
            std_values = md("**Ecart Type**"),
            pvalues = md("**Pvalues**"),
            signif = md("**Significativité**")
        ) |>
        fmt_markdown(columns = c(coefnames, signif, description)) |>
        fmt_number(columns = c(coefficients, pvalues), decimals = 3) |>
        fmt(columns = std_values, fns = function(std) {
            paste("+/-", round(std, 3))
        }) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("*Observations* : %s", n))) |>
        tab_footnote(footnote = md("***")) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2=$ %s", r2))) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2_{adj}=$ %s", adj_r2))) |>
        tab_header(
            title = md(title),
            subtitle = md(sprintf("Variable dépendante : *%s*", dep_variable))
        ) |>
        tab_options(
            table.background.color = bg_color
        )

    return(table)
}

1 Imports et configuration

Note

Tout au long de ce projet, nous utiliserons l’approche tidy développée par Wickham (2014) plutôt que l’approche base R pour manipuler nos données.

Code

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(readxl)
library(micEcon)
library(stargazer)
library(gt)
library(tibble)
library(knitr)
library(plotly)
library(patchwork)
library(showtext)

Code

bg_color <- "#FCFCFC"
alpha <- 0.7

Code

theme_set(theme_minimal())
thematic::thematic_on(bg = "#FCFCFC", fg = "black", accent = "purple", font = "PT Sans")

2 Description des données

Le jeu de données appleProdFr86 utilisé dans le papier d’économétrie de Ivaldi et al. (1996) comprend des données transversales de production de 140 producteurs de pommes français datant de l’année 1986.

Code

apples <- read_excel("data/appleProdFr86.xlsx")

Descriptif des colonnes

Colonnes	Description
vCap	Coûts associés au capital (foncier compris).
vLab	Coûts associés au travail (y compris la rémunération du travail familial non rémunéré).
vMat	Coûts des matières intermédiaires (plantations, engrais, pesticides, carburant, etc).
qApples	Indice de quantité des pommes produites.
qOtherOut	Indice de quantité de tous les autres outputs.
qOut	Indice de quantité de toute la production \(\Rightarrow 580000 \cdot (\text{qApples} + \text{qOtherOut})\)
pCap	Indice des prix du capital.
pLab	Indice des prix du travail.
pMat	Indice des prix des matières intermédiaires.
pOut	Indice des prix de la production globale.
adv	Distingue les producteurs qui sont conseillés par des laboratoires d’agronomie.

2.1 Tableau descriptif

Ce tableau descriptif retrace les 10 premières observations et l’ensemble des variables associées dans le dataset.

Code

apples |>
    head(n = 10) |>
    gt() |>
    tab_header(
        title = md("**Producteurs de pommes 🍎**"),
        subtitle = md("*140 producteurs* 🇫🇷 *(1986)*")
    ) |>
    tab_source_note(
        source_note = "Source: Ivaldi et al. (1996)"
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Costs",
        columns = c("vCap", "vLab", "vMat")
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Price Index",
        columns = c("pCap", "pLab", "pMat", "pOut")
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Quantity Index",
        columns = c("qApples", "qOtherOut", "qOut")
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "lavenderblush")
        ),
        location = cells_body(columns = c(vCap, vLab, vMat))
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "ivory")
        ),
        location = cells_body(columns = c(qApples, qOtherOut, qOut))
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "aliceblue")
        ),
        location = cells_body(columns = c(pCap, pLab, pMat, pOut))
    ) |>
    fmt_number(suffixing = TRUE, n_sigfi = 2) |>
    text_case_match(
        "1.0" ~ fontawesome::fa("check"),
        "0" ~ fontawesome::fa("xmark"),
        .locations = cells_body(columns = adv)
    ) |>
    tab_options(
        table.background.color = bg_color
    )

Producteurs de pommes 🍎
140 producteurs 🇫🇷 (1986)
N	Costs			Quantity Index			Price Index				adv	qCap	qLab	qMat
	vCap	vLab	vMat	qApples	qOtherOut	qOut	pCap	pLab	pMat	pOut
1	220K	320K	300K	1.4	0.98	1.4M	2.6	0.90	8.9	0.66		84K	360K	34K
2	130K	190K	260K	0.86	1.1	1.1M	3.3	0.75	6.4	0.72		40K	250K	41K
3	81K	130K	91K	3.3	0.40	2.2M	2.2	0.96	3.7	0.94		37K	140K	24K
4	34K	110K	60K	0.44	0.44	510K	1.6	1.3	3.2	0.60		21K	83K	19K
5	39K	84K	100K	1.8	0.015	1.1M	0.87	0.94	7.2	0.83		45K	89K	14K
6	120K	520K	580K	8.5	0.43	5.2M	1.0	0.96	9.6	1.4		120K	550K	60K
7	89K	170K	340K	4.1	3.3	4.3M	0.98	1.0	7.8	1.3		91K	170K	44K
8	92K	200K	130K	2.2	1.1	1.9M	1.0	0.92	5.0	0.62		89K	220K	25K
9	66K	180K	190K	1.8	2.6	2.5M	2.5	1.0	5.6	1.9		27K	180K	34K
10	94K	140K	82K	1.6	0.45	1.2M	0.98	0.64	5.6	0.49		95K	220K	15K
Source: Ivaldi et al. (1996)

3 Statistiques descriptives

3.1 Productivité moyenne des facteurs de production

La productivité moyenne (\(AP =\) Average Product) consiste à diviser la quantité totale d’output par la quantité totale de facteur utilisé (input) dans le processus de production.

Imaginons que les unités d’output sont des tonnes. Pour chaque input, cela revient en fait à expliquer combien de tonnes sont produites par unité de capital, de travail et de matières intermédiaires en 1986 pour chaque producteur de pommes.

Nous obtenons alors respectivement :

• \(AP_{Cap} = \frac{q_{Out}}{q_{Cap}}\)

• \(AP_{Lab} = \frac{q_{Out}}{q_{Lab}}\)

• \(AP_{Mat} = \frac{q_{Out}}{q_{Mat}}\)

Code

apples <- apples |> mutate(
    AP_Cap = qOut / qCap,
    AP_Lab = qOut / qLab,
    AP_Mat = qOut / qMat
)

Code

tibble_AP_Cap <- apples |> summarise(min = min(AP_Cap), mean = mean(AP_Cap), max = max(AP_Cap), std = sd(AP_Cap)) |> add_column(type = "$AP_{Cap}$", .before = "min")
tibble_AP_Lab <- apples |> summarise(min = min(AP_Lab), mean = mean(AP_Lab), max = max(AP_Lab), std = sd(AP_Lab)) |> add_column(type = "$AP_{Lab}$", .before = "min")
tibble_AP_Mat <- apples |> summarise(min = min(AP_Mat), mean = mean(AP_Mat), max = max(AP_Mat), std = sd(AP_Mat)) |> add_column(type = "$AP_{Mat}$", .before = "min")

AP_table <- bind_rows(tibble_AP_Cap, tibble_AP_Lab, tibble_AP_Mat)

AP_table |> gt() |> fmt_markdown(columns = type) |> fmt_number(columns = c(-type)) |> tab_header(
        title = md("**Productivité Moyenne par Facteur 📋**"),
        subtitle = md("*Capital --- Travail --- Matériaux*")
    ) 

Productivité Moyenne par Facteur 📋
Capital — Travail — Matériaux
type	min	mean	max	std
\(AP_{Cap}\)	1.45	32.64	152.87	29.25
\(AP_{Lab}\)	0.86	10.21	25.63	6.20
\(AP_{Mat}\)	8.22	90.64	301.43	60.43

done 💅

Ce tableau, en plus des visualisations qui vont suivre, permet d’établir que les productivités moyennes par facteur sont très différentes selon les producteurs. De plus, on s’aperçoit aussi qu’investir dans un facteur particulier peut être plus intéressant qu’un autre.

C’est particulièrement vrai pour le facteur Mat avec une productivité moyenne minimale de 8.22 unités d’output pour une unité de matériaux et jusqu’à 301.43 unités d’output pour une unité de matériaux.

Code

apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Cap) +
    geom_histogram(binwidth = 1.25, fill = "darkgreen", alpha = alpha) +
    labs(title = "Productivité Moyenne du Capital", subtitle = "Pour une unité de capital, combien d'unités d'output sont produits ?", x = "", y = "Fréquence")

Code

apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Lab) +
    geom_histogram(binwidth = 0.75, fill = "orange", alpha = alpha) +
    labs(title = "Productivité Moyenne du Travail", subtitle = "Pour une unité de travail, combien d'unités d'output sont produits ?", x = "", y = "Fréquence")

Code

apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Mat) +
    geom_histogram(binwidth = 1.5, fill = "darkorchid", alpha = alpha) +
    labs(title = "Productivité Moyenne des matériaux", subtitle = "Pour une unité de matériaux, combien d'unités d'output sont produits ?", x = "", y = "Fréquence")

3.2 Corrélations entre les quantités des 3 facteurs de production

Code

apples |>
    select(starts_with("AP")) |>
    cor() |>
    round(2) |>
    data.frame() |>
    gt() |>
    tab_header("Matrice de corrélation")

Matrice de corrélation
AP_Cap	AP_Lab	AP_Mat
1.00	0.51	0.46
0.51	1.00	0.73
0.46	0.73	1.00

3.3 Représentation graphique des relations entre les productivités moyennes

\(\Rightarrow\) Idée : Faire des régressions linéaires sur ces graphs. étudier la relation. Normalement on devrait retrouver les coefs de la matrice de corrélation. On voit aussi que pour le 2e graph il y a une belle relation linéaire.

Code

CL <- apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Cap, y = AP_Lab) +
    geom_point(colour = "slategray", alpha = alpha)
ML <- apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Mat, y = AP_Lab) +
    geom_point(colour = "gray", alpha = alpha)
CM <- apples |>
    ggplot() +
    aes(x = AP_Cap, y = AP_Mat) +
    geom_point(colour = "gray21", alpha = alpha)

prod_plots <- (CL + ML) / CM

prod_plots + plot_annotation(
    title = "Croisement des productivités moyennes",
    subtitle = "Quelles sont les relations existantes entre les différentes productivités moyennes ?",
    caption = "Auteurs : @Corentin DUCLOUX, @Guillaume DEVANT, 2024 "
)

Code

QC <- apples |>
    ggplot() +
    aes(y = qOut, x = AP_Cap) +
    geom_point(colour = "darkgreen", alpha = alpha) + 
    labs(y = "") + 
    theme(axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank())
QL <- apples |>
    ggplot() +
    aes(y = qOut, x = AP_Lab) +
    geom_point(colour = "orange", alpha = alpha) + 
    labs(y = "") +
    theme(axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank())
QM <- apples |>
    ggplot() +
    aes(y = qOut, x = AP_Mat) +
    geom_point(colour = "darkorchid", alpha = alpha) + 
    labs(y = "") +
    theme(axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank())

qOut_prod_plots <- (QC + QL) / QM

qOut_prod_plots + plot_annotation(
    title = "Productivité moyenne par rapport à l'output total",
    subtitle = "Quelles sont les relations existantes entre les productivités moyennes des inputs et de l'output ?",
    caption = "Auteurs : @Corentin DUCLOUX, @Guillaume DEVANT, 2024 "
)

3.4 Paasche ou Laspeyeres ou Fisher

3.5 Indice de productivité globale des facteurs

\[ GP = \frac{q_{Out}{q_{Cap} + q_{Lab} + q_{Mat}}} \]

Code

apples <- apples |> mutate(global_prod = qOut / (qCap + qLab + qMat))

Code

apples |>
    ggplot() +
    aes(x = global_prod) +
    geom_histogram(binwidth = 0.25, fill = "darkred", alpha = 0.7) +
    labs(title = "Productivité globale", x = "Productivité", y = "Fréquence")

Code

apples |>
    ggplot() +
    aes(x = global_prod, fill = as.factor(adv)) +
    geom_boxplot() +
    coord_flip() +
    labs(title = "Productivité globale en fonction conseil ou non") +
    theme(legend.position = "None")

4 Analyse exploratoire

ACP à faire ? pourrait être intéressant

Code

apples_num <- apples |>
    select(-N)

cor <- apples_num |> cor()

fig <- plot_ly(x = apples$vCap, type = "histogram", nbinsx = 30, alpha = 0.6)
fig

Code

fig <- plot_ly(alpha = 0.6, nbinsx = 50)
fig <- fig %>% add_histogram(apples$vCap[apples$adv == 1], name = "advisory service")
fig <- fig %>% add_histogram(apples$vCap[apples$adv == 0], name = "not advisory service")
fig <- fig %>% layout(
    barmode = "overlay",
    yaxis = list(title = "Frequency"),
    xaxis = list(title = "Values")
)
fig

4.1 Infos sur le sujet

\[ Q = f(QCAP, QLAB, QMAT)\\ \]

il y a aussi les infos sur \(C(Q)\)

Comparer les productivités des facteurs. (graphiquement) - imaginons que les unités sont des tonnes (combien de tonnes sont produites par unité de travail, capital, etc.)

Comment ces productivités individuelles sont corrélées (entre QCAP, QLAB, QMAT)

• Indice de Paasche
• Indice de Laspeyres
• Indice de Fisher

Expliquer les différences de profits entre les producteurs ? Regarder du coté des fonctions de profit.

Propriété de la CD => si la fonction de prod est cobb douglas, alors la fonction de coût l’est aussi.

alpha y => mesure des rendements d’échelle…

Pour la question 7, o nintègre la quantité d’inputs comme variable explicative => fonction de cout de court terme

Fonction de cout qui intègre que la quantité de capital ne change pas instantanément

Rendements d’échelle (somme des exposants) => on peut trouver ces rendements d’échelle soit en faisant la fonction de coût, ou la fonction de production. Mais on peut aussi les estimer grace à une fonction de demande

DEUX CHOSES ESSENTIELLES

• Il faut estimer les substitutions entre facteurs
• Les rendements d’échelle

Dans la cobb douglas les substitutions entre facteurs il est constant et c’est 1.

Regarder le \(\prod\)

4.2 Notes sur la translog Cost

On pourrait tt à fait estimer le système d’équations suivant :

Voir aussi la slide 78 sur la fonction \(\ln C\)

\[ \begin{cases} S_1 = \alpha_1 + \sum^3_{i=1} \beta_{1j}\ln p_j + \beta_{1y}\ln y\\ S_2 = \alpha_2 + \sum^3_{i=1} \beta_{2j}\ln p_j + \beta_{2y}\ln y\\ S_3 = \alpha_3 + \sum^3_{i=1} \beta_{3j}\ln p_j + \beta_{3y}\ln y \end{cases} \]

Inconvénients dans la translog et des formes flexibles :

Le nombre de paramètres explose à cause des effets croisés et risque important de collinéarité.

Quand on passe au système au tableau, on a augmenté à 3*140 données (420 observations) et on a un peu moins de paramètres

Code

apples |>
    select(qApples, adv) |>
    group_by(adv) |>
    summarise(mean = mean(qApples))

# A tibble: 2 × 2
    adv  mean
  <dbl> <dbl>
1     0  3.15
2     1  2.99

5 Fonction Cobb-Douglas

Forme générale d’une fonction Cobb-Douglas

La forme est généralisée à \(N\) inputs.

\[y = A \prod_{k=1}^N x_k^{a_k}\]

Dans le cadre de cette étude comparative, nous avons 3 inputs :

• qCap \(\Rightarrow\) la quantité de capital
• qLab \(\Rightarrow\) la quantité de travail
• qMat \(\Rightarrow\) la quantité de matériaux

Nous obtenons donc la forme suivante :

\[q_{Out} = A\cdot q_{Cap}^\alpha \cdot q_{Lab}^\beta \cdot q_{Mat}^\gamma\]

Avec \(A, \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow\) 4 paramètres à estimer.

On peut facilement linéariser la fonction, dès lors on obtient :

\[ \ln(q_{out}) = \ln(A) + \alpha \cdot \ln(q_{Cap}) + \beta \cdot \ln(q_{Lab}) + \gamma \cdot \ln(q_{Mat}) \]

Allen Elasticity of Substitution (AES)

\(\sigma_{\{\text{qCap, qLab, qMat}\}} = 1\)

Rappel : Si la fonction de production est Cobb-Douglas, alors on a normalement \(\hat\alpha + \hat\beta + \hat\gamma = 1\)

On peut tester cette hypothèse :

\[ \begin{cases} H_0 : \alpha + \beta + \gamma = 1\\ H_1 : \alpha + \beta + \gamma \neq 1\\ \end{cases} \]

Code

# Estime une fonction de production Cobb Douglas avec l'argument linear
cd_prod <- translogEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples,
    linear = TRUE
)

quad_prod <- quadFuncEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples
)

summary(quad_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-3928802  -695518  -186123   545509  4474143 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.911e+05  3.615e+05  -0.805 0.422072    
a_1          5.270e+00  4.403e+00   1.197 0.233532    
a_2          6.077e+00  3.185e+00   1.908 0.058581 .  
a_3          1.430e+01  2.406e+01   0.595 0.553168    
b_1_1        5.032e-05  3.699e-05   1.360 0.176039    
b_1_2       -3.097e-05  1.498e-05  -2.067 0.040763 *  
b_1_3       -4.160e-05  1.474e-04  -0.282 0.778206    
b_2_2       -3.084e-05  2.081e-05  -1.482 0.140671    
b_2_3        4.011e-04  1.112e-04   3.608 0.000439 ***
b_3_3       -1.896e-03  8.951e-04  -2.118 0.036106 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1344000 on 130 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8449,    Adjusted R-squared:  0.8342 
F-statistic: 78.68 on 9 and 130 DF,  p-value: < 2.2e-16

Code

#elasticities(cd_prod)
#elasticities(quad_prod)

Code

gtgazer(
    cd_prod,
    n_coef = 4,
    coefnames = c("$A$", "$\\alpha$", "$\\beta$", "$\\gamma$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`"
    ),
    title = "**Fonction de production Cobb-Douglas**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de production Cobb-Douglas
Variable dépendante : qOut
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	−2.064	+/- 1.313	0.118
\(\alpha\)	Coefficient associé à la variable qCap	0.163	+/- 0.087	0.064	\(*\)
\(\beta\)	Coefficient associé à la variable qLab	0.676	+/- 0.154	0.000	\(***\)
\(\gamma\)	Coefficient associé à la variable qMat	0.627	+/- 0.126	0.000	\(***\)
Observations : 140
\(R^2=\) 0.594
\(R^2_{adj}=\) 0.585

Code

summary(cd_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.67239 -0.28024  0.00667  0.47834  1.30115 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.06377    1.31259  -1.572   0.1182    
a_1          0.16303    0.08721   1.869   0.0637 .  
a_2          0.67622    0.15430   4.383 2.33e-05 ***
a_3          0.62720    0.12587   4.983 1.87e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.656 on 136 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5943,    Adjusted R-squared:  0.5854 
F-statistic: 66.41 on 3 and 136 DF,  p-value: < 2.2e-16

Code

apples <- apples |> mutate(cost = vCap + vLab + vMat)

Code

# Estime une fonction Cobb Douglas avec l'argument linear
# translogCostEst("cost", "qOut", c("qCap", "qLab", "qMat"), apples)

• Avec la fonction de cout on trouve 2.7 – à vérifier

Estimer des fonctions de cout, les rendements d’échelle, estimer la fonction CES, la leontieff généralisée, calculer le profit des producteurs, lien entre efficacité, optimalité, vérifier hétéroscédasticité.

Code

cobbDouglasCalc(c("qCap", "qLab", "qMat"), apples, coef(cd_prod)[1:4], coefCov = NULL, dataLogged = FALSE)

         1          2          3          4          5          6          7 
 3211442.9  2484348.9  1198934.2   659255.2   657608.3  6440150.6  2289560.6 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1941829.7  1643085.0  1393628.8  1065518.4  2532062.5  1142644.8  1990393.7 
        15         16         17         18         19         20         21 
 1804586.9  2486696.5   623801.8  4674844.6   652055.8  1602756.5  3585652.8 
        22         23         24         25         26         27         28 
 3105133.1  1962299.4  1894850.1  1730990.1  2028057.2  1236923.3  3120162.0 
        29         30         31         32         33         34         35 
  857551.9  1283936.8  1591240.6  1112374.7  1104836.2  1990082.5  2286930.2 
        36         37         38         39         40         41         42 
 1050671.7   670978.8   385308.3   617220.9   947210.5  1523069.4  1590208.7 
        43         44         45         46         47         48         49 
 1152166.4   874268.3   856786.7  1501912.2   812992.3  1433944.5  1169689.9 
        50         51         52         53         54         55         56 
  761120.5   655665.9   737223.4   623412.9   541717.9  1239529.1  1182383.1 
        57         58         59         60         61         62         63 
 1401808.7   628116.7   507950.3  2747396.1   539581.5  1055087.5  3550349.5 
        64         65         66         67         68         69         70 
  935872.0  1410581.5  5799225.5  4578344.7  2308627.1  5785802.2  8756920.8 
        71         72         73         74         75         76         77 
  936486.7   859620.4   940655.3   461623.9   848543.7  2309804.2  1241075.8 
        78         79         80         81         82         83         84 
  456956.7   723527.6   395900.6   692132.4  6173798.8   936641.2  6561521.0 
        85         86         87         88         89         90         91 
 3007107.9  4707504.1  1821147.0  1274546.0  1539352.9 10076301.8  1887415.3 
        92         93         94         95         96         97         98 
 1941222.6  3696158.0  6802400.4  1055932.4 23101792.2  1334995.9  1869797.5 
        99        100        101        102        103        104        105 
 3712233.4  1116260.1  4223297.1  4854943.6  1385925.9  1748553.8  2053107.4 
       106        107        108        109        110        111        112 
 1458847.1  2051602.9   643613.7  5267349.8  3902378.1  1836245.8  2455677.3 
       113        114        115        116        117        118        119 
 1624723.3  1560690.4   953841.4   710120.9  1658775.2  1321024.4  1312615.0 
       120        121        122        123        124        125        126 
 2743290.7  1054216.7  1320798.9  1262051.7  2844557.5  2947324.2   407556.6 
       127        128        129        130        131        132        133 
  825951.6  1757610.8 17344690.0  1679538.3  2161094.8  5913745.0  1058384.3 
       134        135        136        137        138        139        140 
 7738514.2   561868.8  1386779.3  7276857.5  1834723.0   556354.7  2416013.3 

Les références

Ivaldi, Marc, Norbert Ladoux, Hervé Ossard, et Michel Simioni. 1996. « Comparing Fourier and translog specifications of multiproduct technology: Evidence from an incomplete panel of French farmers ». Journal of applied econometrics 11 (6): 649‑67.

Wickham, Hadley. 2014. « Tidy Data ». Journal of Statistical Software.

Réutilisation